Sumas De Riemann Ejemplos Resueltos Paso A Paso

Las sumas de Riemann son una forma de calcular áreas bajo una curva. Esta herramienta matemática es utilizada en muchas aplicaciones, desde física hasta economía. Estas sumas se basan en la idea de que una curva puede ser aproximada por una serie de rectángulos, cada uno con una altura diferente. El área bajo la curva entre dos puntos se puede calcular sumando las áreas de los rectángulos. Esta es la base de la suma de Riemann. A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo calcular sumas de Riemann paso a paso.

Ejemplo 1: Calcular la Suma de Riemann para una Recta

Para empezar, consideremos una recta con pendiente positiva. Esta recta puede ser descrita por la función y = f(x) = x. El área bajo esta curva entre los puntos x = a y x = b, se puede calcular utilizando la suma de Riemann. La primera parte de este proceso es dividir el intervalo [a, b] en n partes iguales, donde cada parte tiene un ancho igual a (b – a) / n. Esto se muestra a continuación:

a, a + (b – a) / n, a + 2(b – a) / n, …, a + (n – 1)(b – a) / n, b.

Luego, para cada parte, se debe calcular el área de un rectángulo con la base igual al ancho de la parte y con la altura igual a f (x). Por lo tanto, la área total se obtiene sumando las áreas de todos los rectángulos. Esto se muestra a continuación:

A = [(b – a) / n] * f(x₀) + [(b – a) / n] * f(x₁) + [(b – a) / n] * f(x₂) + … + [(b – a) / n] * f(x_n-1)

En este caso, la función es f (x) = x, por lo que la suma de Riemann se reduce a:

A = [(b – a) / n] * x₀ + [(b – a) / n] * x₁ + [(b – a) / n] * x₂ + … + [(b – a) / n] * x_n-1

En este caso, todos los valores x_i son iguales, por lo que la suma se reduce a:

A = [(b – a) / n] * (x₀ + x₁ + x₂ + … + x_n-1)

Y finalmente, la suma se reduce a:

A = (b – a) * (x₀ + x₁ + x₂ + … + x_n-1) / n

Esta es la suma de Riemann para una recta con pendiente positiva. La suma es la misma para una recta con pendiente negativa. Esto se debe a que la altura de los rectángulos siempre es positiva.

Ejemplo 2: Calcular la Suma de Riemann para una Parábola

Ahora consideremos una parábola con la forma y = f(x) = x². El área bajo esta curva entre los puntos x = a y x = b, se puede calcular utilizando la suma de Riemann. El primer paso es dividir el intervalo [a, b] en n partes iguales, donde cada parte tiene un ancho igual a (b – a) / n. Esto se muestra a continuación:

a, a + (b – a) / n, a + 2(b – a) / n, …, a + (n – 1)(b – a) / n, b.

Luego, para cada parte, se debe calcular el área de un rectángulo con la base igual al ancho de la parte y con la altura igual a f (x). Por lo tanto, la área total se obtiene sumando las áreas de todos los rectángulos. Esto se muestra a continuación:

A = [(b – a) / n] * f(x₀) + [(b – a) / n] * f(x₁) + [(b – a) / n] * f(x₂) + … + [(b – a) / n] * f(x_n-1)

En este caso, la función es f (x) = x², por lo que la suma de Riemann se reduce a:

A = [(b – a) / n] * x²₀ + [(b – a) / n] * x²₁ + [(b – a) / n] * x²₂ + … + [(b – a) / n] * x²_n-1

Y finalmente, la suma se reduce a:

A = (b – a) * (x²₀ + x²₁ + x²₂ + … + x²_n-1) / n

Esta es la suma de Riemann para una parábola. Esta suma es la misma para una parábola con pendiente positiva o negativa.

Las sumas de Riemann son una herramienta útil para calcular el área bajo una curva. Estas sumas se pueden utilizar para calcular el área bajo una recta o una parábola. Estos dos ejemplos muestran cómo calcular la suma de Riemann paso a paso. Sin embargo, esta herramienta matemática se puede utilizar para calcular el área bajo cualquier curva.