Integrais por partes é um dos métodos mais usados na integração de funções diferenciais. A sua aplicação é bastante versátil e pode ser usada para resolver uma grande variedade de problemas. Neste artigo, vamos dar uma olhada nos principais exemplos de integral por partes, explicando os conceitos básicos e fornecendo alguns exemplos para ajudar a solidificar os conceitos.
O que é Integrais Por Partes?
Integrais por partes é um método de integração que pode ser usado para resolver problemas de integração de funções diferenciais. É baseado no conceito de desenvolvimento de uma função em termos de integrais parciais. Em essência, o método consiste em desenvolver uma função em termos de integrais parciais, aplicar a regra da integral definida e, em seguida, resolver a equação resultante.
Como Funciona Integrais Por Partes?
Para entender como funciona a Integração por Partes é importante entender o conceito de desenvolvimento de uma função em termos de integrais parciais. Um exemplo comum de desenvolvimento de função é a expansão de uma função em séries de Taylor. A série de Taylor é usada para desenvolver uma função em termos de derivadas sucessivas da função. A integração por partes usa o conceito de desenvolvimento de uma função em termos de integrais parciais. O desenvolvimento de uma função em termos de integrais parciais é muito semelhante à série de Taylor, exceto que as derivadas são substituídas por integrais.
Exemplos de Integrais Por Partes
Exemplo 1: Integrar (x + 1) ^ 2
Para integrar (x +1) ^ 2, primeiro precisamos escolher uma variável para usar. Neste caso, vamos escolher x. Então, o nosso desenvolvimento será (x +1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1. Agora, vamos aplicar a regra da integral definida. Para isso, precisamos escolher duas funções para derivar. Vamos escolher x ^ 2 e 2x. Então, a nossa integral definida será:
∫ (x +1) ^ 2 dx = ∫ x 2 dx + ∫ 2x dx
Usando a regra da integral definida, podemos resolver a equação acima. Primeiro, vamos resolver a integral de x2. Sabemos que a integral de x2 é x3 / 3 + C, onde C é uma constante. Agora, vamos resolver a integral de 2x. Sabemos que a integral de 2x é x2 + C. Agora, temos que adicionar as duas integrais juntas. Então, a nossa resposta é:
∫ (x +1) ^ 2 dx = x3 / 3 + x2 + C
Exemplo 2: Integrar xe ^ x
Para integrar xe ^ x, vamos escolher x como a nossa variável. Então, o nosso desenvolvimento será xe ^ x = x + e ^ x. Agora, vamos aplicar a regra da integral definida. Para isso, precisamos escolher duas funções para derivar. Vamos escolher x e e ^ x. Então, a nossa integral definida será:
∫ xe ^ x dx = ∫ x dx + ∫ e ^ x dx
Usando a regra da integral definida, podemos resolver a equação acima. Primeiro, vamos resolver a integral de x. Sabemos que a integral de x é x2 / 2 + C, onde C é uma constante. Agora, vamos resolver a integral de e ^ x. Sabemos que a integral de e ^ x é e ^ x + C. Agora, temos que adicionar as duas integrais juntas. Então, a nossa resposta é:
∫ xe ^ x dx = x2 / 2 + e ^ x + C
Conclusão
Integrais por partes é um ótimo método de integração que pode ser usado para resolver uma grande variedade de problemas. É importante notar que o método é baseado no desenvolvimento de uma função em termos de integrais parciais. No artigo, demos uma olhada nos principais exemplos de integral por partes, explicando os conceitos básicos e fornecendo alguns exemplos para ajudar a solidificar os conceitos. Espero que este artigo tenha sido útil para você entender como funciona a Integração por Partes.
Sahnes Meina
Amane Dean
Raok Naman