Integrais Definidas E Suas Aplicações

Integrais definidas são usadas para calcular áreas, volumes e outras quantidades que estão associadas à área sob uma curva. Isso é feito ao calcular a soma de áreas de retângulos para um intervalo de valores dados. Embora seja um assunto complexo, este artigo dará uma visão geral dos conceitos básicos e mostrará alguns ejemplos de integrais definidas com gráficos.

O que são Integrais Definidas?

Uma integral definida é uma integral que tem um intervalo de integração definido. O intervalo de integração é o intervalo de valores que a função está sendo integrada. A integral definida calcula a área entre o gráfico da função e o eixo x em um determinado intervalo. É usada para calcular áreas abaixo de curvas, volumes, centroides e outras propriedades que estão associadas à área abaixo de uma curva.

A integral definida é representada como:

∫_a^b f(x) dx

Aqui, a e b são os limites da integral definida. A área abaixo da curva entre os limites a e b é calculada usando a seguinte fórmula:

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)

Aqui, F(x) é a integral indefinida da função dada. A integral indefinida é calculada antes de calcular a integral definida. A integral indefinida é representada como:

F(x) = ∫ f(x) dx

Exemplos de Integrais Definidas com Gráficos

Exemplo 1

Considere a seguinte função: f(x) = x² + 2.

Neste exemplo, vamos calcular a área entre o gráfico da função e o eixo x de 0 a 3. A integral definida para este exemplo será:

∫₀³ (x² + 2) dx

Primeiro, calculamos a integral indefinida da função dada:

F(x) = ∫ (x² + 2) dx = (1/3) x³ + 2x + C

A integral definida será então:

∫₀³ (x² + 2) dx = F(3) – F(0) = (1/3) x³ + 2x + C |₃ – (1/3) x³ + 2x + C |₀ = (1/3) x³ + 2x |₃ – (1/3) x³ + 2x |₀ = 23/3

A área entre o gráfico da função e o eixo x de 0 a 3 é igual a 23/3.

Exemplo 2

Considere a seguinte função: f(x) = x⁴ + 2x³ – 5.

Vamos calcular a área entre o gráfico da função e o eixo x de 1 a 3. A integral definida para este exemplo será:

∫₁³ (x⁴ + 2x³ – 5) dx

Primeiro, calculamos a integral indefinida da função dada:

F(x) = ∫ (x⁴ + 2x³ – 5) dx = (1/5) x⁵ + (2/4) x⁴ – 5x + C

A integral definida será então:

∫₁³ (x⁴ + 2x³ – 5) dx = F(3) – F(1) = (1/5) x⁵ + (2/4) x⁴ – 5x |₃ – (1/5) x⁵ + (2/4) x⁴ – 5x |₁ = (1/5) x⁵ + (2/4) x⁴ – 5x |₃ – (1/5) x⁵ + (2/4) x⁴ – 5x |₁ = 68/5

A área entre o gráfico da função e o eixo x de 1 a 3 é igual a 68/5.

Conclusão

Integrais definidas são usadas para calcular áreas, volumes e outras quantidades que estão associadas à área sob uma curva. Estes exemplos mostraram como calcular a área entre o gráfico da função e o eixo x para um determinado intervalo usando a fórmula de integral definida. Esta técnica pode ser usada para resolver muitos problemas matemáticos que envolvem áreas e volumes.