O Que São Funções Biyectivas, Inyectivas E Sobreyectivas?

As funções biyectivas, inyectivas e sobreyectivas são tipos específicos de funções matemáticas que são usadas para mapear elementos de um conjunto para outro. O conceito é usado com frequência na matemática, na teoria dos conjuntos, na análise matemática e na teoria dos grafos. Para entender a diferença entre esses tipos de funções, é importante conhecer alguns conceitos básicos da matemática.

Função Biyectiva

Uma função biyectiva é aquela que mapeia cada elemento do conjunto A para um elemento único no conjunto B. Isso significa que para cada elemento de A há um elemento correspondente em B. No entanto, o inverso também é verdadeiro, ou seja, cada elemento de B tem um elemento correspondente em A. Por exemplo, considere a função biyectiva f(x) = x 2. Aqui, cada elemento de A (os números inteiros) é mapeado para um único elemento de B (os números inteiros ao quadrado). E cada elemento de B (os números inteiros ao quadrado) tem um elemento correspondente em A (os números inteiros).

Função Inyectiva

Uma função inyectiva é aquela que é biyectiva, mas com algumas restrições extras. Em particular, cada elemento de A é mapeado para um único elemento de B, mas não é necessariamente verdadeiro o inverso. Isso significa que o elemento de B tem um elemento correspondente em A, mas o elemento de A não precisa ter um elemento correspondente em B. Por exemplo, considere a função inyectiva g(x) = x 3. Aqui, cada elemento de A (os números inteiros) é mapeado para um único elemento de B (os números inteiros ao cubo). No entanto, o inverso não é verdadeiro, pois o número ao cubo -1 não tem um elemento correspondente em A (os números inteiros).

Função Sobreyectiva

Uma função sobreyectiva é aquela que é inyectiva, mas com algumas restrições extras. Em particular, cada elemento de A é mapeado para um único elemento de B, mas não é necessariamente verdadeiro o inverso. Isso significa que o elemento de B tem um elemento correspondente em A, mas o elemento de A não precisa ter um elemento correspondente em B. Além disso, o elemento de B não precisa ter um único elemento correspondente em A. Por exemplo, considere a função sobreyectiva h(x) = x 4. Aqui, cada elemento de A (os números inteiros) é mapeado para um único elemento de B (os números inteiros ao quarto). No entanto, o inverso não é verdadeiro, pois o número ao quarto -1 tem mais de um elemento correspondente em A (os números inteiros -2, -1, 0, 1, 2).

Exemplos de Função Biyectiva, Inyectiva e Sobreyectiva

Exemplo 1

Considere a função biyectiva f(x) = x 2. Aqui, cada elemento de A (os números inteiros) é mapeado para um único elemento de B (os números inteiros ao quadrado). E cada elemento de B (os números inteiros ao quadrado) tem um elemento correspondente em A (os números inteiros). Portanto, esta é uma função biyectiva.

Exemplo 2

Considere a função inyectiva g(x) = x 3. Aqui, cada elemento de A (os números inteiros) é mapeado para um único elemento de B (os números inteiros ao cubo). No entanto, o inverso não é verdadeiro, pois o número ao cubo -1 não tem um elemento correspondente em A (os números inteiros). Portanto, esta é uma função inyectiva.

Exemplo 3

Considere a função sobreyectiva h(x) = x 4. Aqui, cada elemento de A (os números inteiros) é mapeado para um único elemento de B (os números inteiros ao quarto). No entanto, o inverso não é verdadeiro, pois o número ao quarto -1 tem mais de um elemento correspondente em A (os números inteiros -2, -1, 0, 1, 2). Portanto, esta é uma função sobreyectiva.

Conclusão

As funções biyectivas, inyectivas e sobreyectivas são tipos específicos de funções matemáticas. Uma função biyectiva é aquela que mapeia cada elemento do conjunto A para um elemento único no conjunto B. Uma função inyectiva é aquela que é biyectiva, mas com algumas restrições extras. E uma função sobreyectiva é aquela que é inyectiva, mas com algumas restrições extras. Exemplos de funções biyectivas, inyectivas e sobreyectivas incluem f(x) = x 2, g(x) = x 3 e h(x) = x 4. Com esses exemplos, é possível entender melhor a diferença entre esses tipos de funções.