Integrales por sustitución trigonométrica es una técnica usada para resolver integrales que no se pueden resolver usando los métodos tradicionales. Esta técnica se usa para transformar integrales difíciles en integrales más fáciles de resolver. Esto se logra al sustituir una función por otra que es más fácil de integrar. Los ejemplos de Integrales por sustitución trigonométrica resueltos pueden ayudar a comprender mejor cómo se usa esta técnica.
Para empezar, consideremos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1:
Integre:
\[\int \sec^2 x \, dx \]
En este ejemplo, necesitamos usar la sustitución trigonométrica para resolver la integral. Para hacer esto, primero tenemos que encontrar una función que sea más fácil de integrar. En este caso, podemos usar la función tangente para hacer esto. Primero reescribimos la integral como:
\[\int \dfrac{1}{\cos^2x} \, dx \]
Ahora, sustituimos la función tangente en lugar de \cos x para hacer la integral más fácil de resolver. Esto se hace de la siguiente manera:
\[\int \dfrac{1}{\cos^2x} \, dx = \int \dfrac{1}{\tan^2x} \, dx \]
Ahora podemos usar la regla de integración para integrar la función tangente. La regla de integración dice que si la función es \tan x, entonces la integral de esa función es \sec x + C, donde C es una constante. Por lo tanto, la integral de nuestra función original se convierte en:
\[\int \dfrac{1}{\cos^2x} \, dx = \int \dfrac{1}{\tan^2x} \, dx = \sec x + C \]
Donde C es una constante. Esto es el resultado de la integral por sustitución trigonométrica.
Ejemplo 2:
Integre:
\[\int \sin^3 x \cos x \, dx \]
En este ejemplo, necesitamos usar la sustitución trigonométrica para resolver la integral. Para hacer esto, primero tenemos que encontrar una función que sea más fácil de integrar. En este caso, podemos usar la función cotangente para hacer esto. Primero reescribimos la integral como:
\[\int \dfrac{\sin^3 x}{\cos x} \, dx \]
Ahora, sustituimos la función cotangente en lugar de \cos x para hacer la integral más fácil de resolver. Esto se hace de la siguiente manera:
\[\int \dfrac{\sin^3 x}{\cos x} \, dx = \int \dfrac{\sin^3 x}{\cot x} \, dx \]
Ahora podemos usar la regla de integración para integrar la función cotangente. La regla de integración dice que si la función es \cot x, entonces la integral de esa función es -\csc x + C, donde C es una constante. Por lo tanto, la integral de nuestra función original se convierte en:
\[\int \dfrac{\sin^3 x}{\cos x} \, dx = \int \dfrac{\sin^3 x}{\cot x} \, dx = -\csc x + C \]
Donde C es una constante. Esto es el resultado de la integral por sustitución trigonométrica.
Como se puede ver, la sustitución trigonométrica es una técnica útil para resolver integrales difíciles. Los ejemplos de Integrales por sustitución trigonométrica resueltos pueden ayudar a comprender mejor cómo funciona esta técnica. Esta técnica se usa para transformar integrales difíciles en integrales más fáciles de resolver. Esto se logra al sustituir una función por otra que es más fácil de integrar.
Raok Naman