O Teorema Fundamental Do Cálculo Integral

O Teorema Fundamental do Cálculo Integral (ou TFCT) é um dos princípios fundamentais que regem o cálculo integral. É essencial para o estudo de funções contínuas e tem várias aplicações práticas. A seguir, você conhecerá melhor esse teorema e verá alguns exemplos de sua aplicação.

Definição do Teorema Fundamental do Cálculo Integral

O TFCT estabelece que, para uma função contínua f(x) definida em um intervalo [a, b], a área entre a curva da função e o eixo x é igual à diferença entre as integrais definidas da função nos limites do intervalo. Por isso, a integral definida de f(x) no intervalo [a, b] é igual à diferença entre as áreas acima do eixo x e abaixo do eixo x que estão dentro do intervalo. Matematicamente, isso pode ser escrito da seguinte forma:

Integral definida de f(x) entre os limites a e b = Área entre a curva da função e o eixo x entre os limites a e b

Exemplos Práticos

Para ilustrar melhor a aplicação desse teorema, considere a seguinte função f(x) = x² + 2x + 3, definida no intervalo [1, 5]. Para encontrar a integral definida desse intervalo, basta calcular as áreas entre a curva da função e o eixo x. Para isso, você deve dividir o intervalo em partes iguais e calcular a área de cada região. Por exemplo, se você dividir o intervalo [1, 5] em duas partes iguais, você terá os seguintes limites:

Limite inferior = 1
Limite superior = 3

A área entre a curva da função e o eixo x entre os limites 1 e 3 é igual a:

Área entre 1 e 3 = (3² + 2·3 + 3) – (1² + 2·1 + 3) = 27 – 6 = 21

Da mesma forma, a área entre o limite superior e o eixo x é igual a:

Área entre 3 e 5 = (5² + 2·5 + 3) – (3² + 2·3 + 3) = 58 – 27 = 31

Assim, a integral definida de f(x) entre os limites 1 e 5 é igual à soma das áreas entre os limites 1 e 3 e entre os limites 3 e 5:

Integral definida entre 1 e 5 = 21 + 31 = 52

Outros Exemplos

O TFCT também pode ser aplicado a funções mais complicadas. Por exemplo, considere a função f(x) = x³ + 2x² + 3x + 4, definida no intervalo [2, 4]. Para calcular a integral definida nesse intervalo, você deve dividir o intervalo em partes iguais e calcular a área de cada região. Por exemplo, se você dividir o intervalo [2, 4] em duas partes iguais, você terá os seguintes limites:

Limite inferior = 2
Limite superior = 3

A área entre a curva da função e o eixo x entre os limites 2 e 3 é igual a:

Área entre 2 e 3 = (3³ + 2·3² + 3·3 + 4) – (2³ + 2·2² + 3·2 + 4) = 68 – 32 = 36

Da mesma forma, a área entre o limite superior e o eixo x é igual a:

Área entre 3 e 4 = (4³ + 2·4² + 3·4 + 4) – (3³ + 2·3² + 3·3 + 4) = 125 – 68 = 57

Assim, a integral definida de f(x) entre os limites 2 e 4 é igual à soma das áreas entre os limites 2 e 3 e entre os limites 3 e 4:

Integral definida entre 2 e 4 = 36 + 57 = 93

Conclusão

O Teorema Fundamental do Cálculo Integral (ou TFCT) é um princípio fundamental do cálculo integral. É essencial para o estudo de funções contínuas e tem várias aplicações práticas. O TFCT estabelece que, para uma função contínua f(x) definida em um intervalo [a, b], a área entre a curva da função e o eixo x é igual à diferença entre as integrais definidas da função nos limites do intervalo. Por meio dos exemplos acima, foi possível ver como aplicar o TFCT em funções simples e mais complicadas e, assim, calcular a integral definida de uma função em um determinado intervalo.