A Série de Taylor é uma ferramenta usada para aproximar funções reais por meio de funções polinomiais finitas. É amplamente utilizada na matemática, física, química e engenharia, e é a base para o estudo de cálculo integral. Neste artigo, vamos dar uma visão geral dos principais conceitos da Série de Taylor e, em seguida, examinaremos alguns exemplos de aplicação do cálculo integral.
A Série de Taylor é uma expansão em série infinita da função real, onde cada termo da série é uma aproximação da função original. A série é dada pela seguinte equação:
f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + …
Onde a, b, c, d são constantes conhecidas como coeficientes da série. A série converge para a função original se os termos da série forem suficientemente pequenos. A série pode ser usada para aproximar qualquer função contínua em um intervalo finito.
O cálculo integral é o processo de integração de uma função para obter seu integral. O processo é feito por meio da aplicação de técnicas apropriadas e da utilização de regras básicas. A Série de Taylor é usada para aproximar a curva da função em um intervalo específico e, em seguida, o integral é calculado a partir desta aproximação.
Para ilustrar o processo de cálculo integral com a Série de Taylor, vamos considerar o seguinte exemplo. Considere a seguinte função f(x):
f(x) = x3 + 2×2 + 5x + 10
Neste exemplo, vamos usar a Série de Taylor para aproximar a curva da função f(x) no intervalo de -2 a 2. Primeiro, vamos calcular os coeficientes da série. Usando a Série de Taylor, a função f(x) é dada por:
f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + …
Onde a, b, c, d são os coeficientes da série. Para calcular os coeficientes, podemos usar a seguinte equação:
a = f(0) = 10
b = f'(0) = 5
c = f”(0) = 2
d = f”'(0) = 1
Agora que temos os coeficientes da série, podemos aproximar a curva da função no intervalo de -2 a 2. A Série de Taylor para a função f(x) é dada por:
f(x) = 10 + 5x + 2×2 + x3
A seguir, podemos usar esta aproximação para calcular o integral da função f(x) no intervalo de -2 a 2. O integral da função é dado por:
∫f(x)dx = 10x + (5/2)x2 + (2/3)x3 + (1/4)x4 + C
Substituindo os limites de integração, temos:
∫f(x)dx = 10(-2) + (5/2)(-2)2 + (2/3)(-2)3 + (1/4)(-2)4 + C
= -80 + 40 + -16.6667 + 8 + C = -48.6667 + C
Assim, o integral da função f(x) no intervalo de -2 a 2 é -48.6667 + C.
Este exemplo mostra como usar a Série de Taylor para aproximar a curva de uma função e, em seguida, calcular o integral da função. A Série de Taylor é uma ferramenta útil para aproximar funções reais usando séries finitas. Ela é amplamente utilizada na matemática, física, química e engenharia, e é a base para o estudo de cálculo integral.
Outro Exemplo de Série de Taylor – Cálculo Integral
Vamos considerar outro exemplo para ilustrar a aplicação da Série de Taylor para o cálculo integral. Considere a seguinte função f(x):
f(x) = x4 + 2×3 + 5×2 + 10x + 15
Neste exemplo, vamos aproximar a curva da função f(x) no intervalo de -2 a 3. Primeiro, vamos calcular os coeficientes da série. Usando a Série de Taylor, a função f(x) é dada por:
f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + …
Onde a, b, c, d, e são os coeficientes da série. Para calcular os coeficientes, podemos usar a seguinte equação:
a = f(0) = 15
b = f'(0) = 10
c = f”(0) = 5
d = f”'(0) = 2
e = f””(0) = 1
Agora que temos os coeficientes da série, podemos aproximar a curva da função no intervalo de -2 a 3. A Série de Taylor para a função f(x) é dada por:
f(x) = 15 + 10x + 5×2 + 2×3 + x4
A seguir, podemos usar esta aproximação para calcular o integral da função f(x) no intervalo de -2 a 3. O integral da função é dado por:
∫f(x)dx = 15x + (10/2)x2 + (5/3)x3 + (2/4)x4 + (1/5)x5 + C
Substituindo os limites de integração, temos:
∫f(x)dx = 15(-2) + (10/2)(-2)2 + (5/3)(-2)3 + (2/4)(-2)4 + (1/5)(-2)5 + C
= -90 + 40 – 16.6667 + 8 – 1.6 + C = -44.6667 + C
Assim, o integral da função f(x) no intervalo de -2 a 3 é -44.6667 + C.
Este exemplo mostra como usar a Série de Taylor para aproximar a curva de uma função e, em seguida, calcular o integral da função. A Série de Taylor é uma ferramenta útil para aproximar funções reais usando séries finitas. Ela é amplamente utilizada na matemática, física, química e engenharia, e é a base para o estudo de cálculo integral.
Conclusão
A Série de Taylor é uma ferramenta útil para aproximar funções reais usando séries finitas. Ela é amplamente utilizada na matemática, física, química e engenharia, e é a base para o estudo de cálculo integral. Neste artigo, demos uma visão geral dos principais conceitos da Série de Taylor e, em seguida, examinamos dois exemplos de aplicação do cálculo integral. Ao estudar a Série de Taylor e o cálculo integral, os estudantes podem aprimorar seu conhecimento matemático e desenvolver uma compreensão das leis fundamentais da natureza.
Sahnes Meina